MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
2
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEPALEN
M, Koot.; P. Pourmirjafari
11734@supremecollege.nl
Abstract:
In dit artikel wordt onderzoek gedaan met behulp van een helmholtzspoel, waarbij de massa van een elektron experimenteel
wordt bepaald en berekend. Vervolgens wordt deze waarde vergeleken met de geaccepteerde wetenschappelijke waarde uit
Binas. Tijdens dit experiment worden elektronen in een vacuümbuis versneld door een elektrisch veld, waarna zij in het
homogene magnetische veld van de Helmholtzspoel terechtkomen. Dit resulteert in een afbuiging van de elektronenbaan tot
een gesloten cirkel. Door de relatie tussen de spanning en de radius te bepalen kan de specifieke lading (e/m) worden
vastgesteld. Aangezien de elementaire lading een bekende constante is, kan hiermee de rustmassa van een elektron worden
berekend. Dit leidt tot de volgende onderzoeksvraag:
“Wat is het verband tussen de Stroom Spanning en de Radius in een helmholtzspoel en hoe kan deze verhouding
gebruikt worden om de massa van een elektron te bepalen?”
Er zijn twee meetmethodes toegepast: aanpassen van de spanning en aanpassen van het magnetisch veld. Uit de eerste
methode kwam een elektronmassa van
wat een afwijking van 5,2% oplevert ten opzichte van de
literatuurwaarde. De tweede, nauwkeurigere methode resulteerde in een massa van
, met een afwijking van
slechts 2,7%
1. Introductie
De Helmholtzspoel is een wetenschappelijk apparaat waarmee een gebied met een vrijwel perfect
magnetisch veld kan worden geproduceerd. De opstelling is vernoemd naar de Duitse natuurkundige
Hermann von Helmholtz (1821-1894). De opstelling bestaat uit twee identieke, parallelle spoelen die op
een afstand gelijk aan hun straal R van elkaar zijn geplaatst. Doordat er stroom in dezelfde richting
doorheen wordt gestuurd wordt er een homogeen magnetisch veld in het centrum gecreëerd. In dit
onderzoek wordt dit magnetische veld gebruikt om de baan van elektronen af te buigen. Er is een
elektronenstraal in het magnetische veld waardoor ze in een perfecte cirkel gaan bewegen. Door de
eigenschappen van de cirkel te meten kan uiteindelijk de massa van een elektron worden berekenend.
Vervolgens worden de experimenteel bepaalde meetwaarden vergeleken met de literatuurwaarde uit
Binas
Dit kan worden gemeten met de volgende opstelling:
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
3
Figuur 1: Opstelling gebruikt bij proef.
2. Theorie
De Theorie van de Helmholtzspoel is gebaseerd op de wet van Biot-Savart. De wet van Biot-Savart luidt
over het algemeen.
. Deze wet stelt dat een minuscuul magnetisch veld dB wordt
geproduceerd door een kleine stroom Idl die op een afstand r wordt aangegeven.
In de formule geldt dan ook:
In de praktijk bestaat de Helmholtz-configuratie echter uit twee identieke, parallelle spoelen, waarvan
elk met N aantal windingen, straal R, en Stroom I in dezelfde richting. Hierdoor ontstaat in het centrum
een uniform magnetisch veld (B)
Wanneer een elektron dit homogene magnetische veld betreedt, fungeert de Lorentzkracht als
middelpuntzoekende kracht, wat resulteert in een cirkelvormige baan. De Lorentzkracht werkt dus ook
als Middelpuntzoekendekracht.
In dit experiment wordt dan ook gesteld dat de Lorentzkracht gelijk is aan de
Middelpuntzoekendekracht.
.
Dit kan verder verwerkt worden door de snelheid aan beide kanten wegtestrepen.
Aangezien de snelheid van een elektron in een laboratoriumopstelling moeilijk direct te meten is, wordt
deze gesubstitueerd met behulp van de wet van behoud van energie. Want de elektrische energie van de
versnelling spanning (U) wordt ook omgezet in kinetische energie
Wanneer deze waarde voor de snelheid wordt ingevuld in de formule, volgt hieruit:
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
4
Wat dan wordt.
Na versimpeling levert dit de volgende
formule op.
Deze vergelijking kan worden omgeschreven naar een lineaire vorm (y = ax), waarbij de
richtingscoëfficiënt gebruikt kan worden om de massa van een elektron te berekenen. Daarvoor moet de
algemene vorm y = a x worden gehanteerd dat wordt dan
. De hypothese is dan ook dat er een lineair evenredig
verband is. Deze formule wordt dan ook gebruikt bij de eerste proef waarbij de spanning steeds wordt
veranderd. Maar bij de tweede proef verandert het magnetische veld in plaats van de spanning dus daar wordt de
volgende formule gebruikt.
3. Experiment
Instrumenten, opstellingen + materialen
Voor dit experiment wordt gebruik gemaakt van de volgende materialen:
- Twee helmholtzspoelen
- Een spanningsbron
- Een stroombron
- Een voltmeter
- Een ampèremeter
De massa wordt bepaald met behulp van de specifieke lading van een elektron (e/m). De elementaire
lading is te vinden in Binas, dat is de verhouding tussen een de lading en massa van een elektron (e/m).
Aangezien de elementaire lading (e) een bekende literatuurwaarde is, kan de massa (m) direct uit deze
verhouding worden afgeleid.
De helmholtzspoel die wordt gebruikt bestaat uit twee identieke spoelen met daarin meerdere windingen
die parallel aan elkaar staan. Deze spoelen hebben een bepaald aantal windingen. De afstand tussen alle
stapjes in de spoel hoort gelijk te zijn aan 2cm. En wanneer er stroom en spanning door de spoelen heen
gaan zou er een homogeen magnetisch veld ontstaan, wat goed zichtbaar is wanneer het experiment in
een zo’n donker mogelijke omgeving zit. In de straalbuis in de spoel worden de elektronen versneld
door de spanning die erop zit. En deze elektronen worden versneld door een elektrische spanning.
Wanneer deze elektronen dan ook precies loodrecht op de bewegingsrichting staan werkt er een
Lorentzkracht op de elektronen. Juist door deze kracht gaan de elektronen in een cirkelbeweging
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
5
bewegen. Door bij verschillende spanningen de straal af te lezen, kan deze data in Excel worden
verwerkt om de richtingscoëfficiënt van de data te krijgen dat gelijk zou zijn aan (e/m). Hiervoor
moeten een tabel worden gemaakt met r^2 in opzichten van U.
Door de
Lorentzkracht wordt de elektronenbuis
Figuur 2: Schematische opstelling van deze proef. Figuur 3: De spoel bij 300V in een donkere omgeving.
Meetprocedure
Proef 1: Berekenen van een elektron door een verschillende spanning.
Er werd gestart met het verbinden van de elektronenstraalbuis dit zou via dit diagram horen te gaan.
Figuur 1: Opstelling gebruikt bij proef.
Nadat alles was verbonden begon het eerste proef waarin de spanning begon bij 300V en werd de
stroom gevarieerd totdat er een duidelijke cirkel zichtbaar was in de vacuümbuis.
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
6
En deze kon het beste worden gezien bij I= 1,35A. Bij deze constante stroom werd vervolgens de
spanning gevarieerd, waarbij de bijbehorende diameter werd gemeten. De spanning werd telkens met
stappen van 20 V veranderd.
De verschillende data die daaruit verzamelden werden waren:
-De spanning U (V)
-de straal r van de elektronenbaan (m)
Proef 2: Berekenen van een elektron door een verschillende Magnetisch veld.
Bij deze proef wordt dezelfde opstelling gebruikt als bij proef 1. Bij deze proef moest in plaats van de
stroom de spanning deze keer constant worden gehouden op U = 300 V. Hierna moest de stroom
veranderen en de diameter aflezen die hierbij hoort. De stroom werd elke keer met stapjes van 0,25A
verhoogd.
De verschillende data die daaruit verzamelden werden was:
-De stroom I (A) -> Deze moet wel teruggerekend worden naar B(T) voor in de grafiek.
-de straal r van de elektronenbaan (m)
Verwerking meetgegevens:
Uit de gemeten diameter wordt eerste de straal r bepaald. Vervolgens wordt r^2 berekend.
Met die data wordt een grafiek gemaakt van r^2 tot U en volgens de theorie moet hier een lineair
verband geven. En dan met de grafiek wordt de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenend in
verhouding met e/m.
4. Resultaten
Proef 1: Berekenen van een elektron door een verschillende spanning.
De gemeten waarde voor de spanning en de straal weergegeven.
U(V)
Diameter (cm)
Straal r (cm)
Straal r (m)
r^2(m^2)
300
11,4
5,7
0,057
0,0033
280
11
5,5
0,055
0,0030
260
10,7
5,35
0,0535
0,0029
240
10,3
5,15
0,0515
0,0027
220
9,8
4,9
0,049
0,0024
200
9,2
4,6
0,046
0,0021
Tabel 1: Spanning met relatie aan Radius
Hieruit wordt dan een lineaire “spreidingsdiagram” van gemaakt in Excel. Deze zou er ongeveer zo uit
te komen te zien.
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
7
Bijlage 4: Lineaire grafiek +
Hellings getal vanuit Excel
Hierboven is de grafiek weergegeven die het lineaire verband tussen de radius en de spanning toont.
Eerder is al geconstateerd dat de formule van het helling getal gelijk staat aan
Nu zijn er 2 dingen die niet bekend zijn, dat is e en B. Gelukkig staat e als constante vanuit Binas.
e =
C Daarmee staat bij deze proef dus alleen B niet bekend. Maar B kan wel worden berekend
bij deze spoel met de volgende formule
daarin staan dan vanuit de constante waardes
van de helmholtzspoel dat
Met dat dat allemaal bekend staat kan nu de uiteindelijke versie van de formule in worden gevuld als.
. Dit
resulteert in
= 1,92
=2m dus m =
kg
Op basis van de experimentele data bedraagt de berekende elektronmassa
kg. Wanneer dit vergeleken wordt met de literatuurwaarde vanuit Binas.
Dan komt er
een afwijking van
Proef 2: Het berekenen van de massa van een elektron door het verschil te kijken in straal met
verandering van het magnetische veld.
In deze tweede proef word er gekeken naar welk effect het magnetische veld heeft met de straal van de
helmholtzspoel. Alleen kon het magnetische veld niet direct afgelezen worden maar dat kon wel met de
volgende formule:
en er kon gemakkelijk de I veranderd worden vanwege de
stroombron.
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
8
Daarmee is de stroom steeds veranderd en genoteerd om eruit te halen wat de massa van een elektron precies
zou zijn. De data die eruit kwam is als volgt:
B(T)
r(m)
0,00114
0,05
0,00133
0,044
0,00152
0,04
0,0017
0,035
0,00189
0,03
0,00208
0,029
0,00227
0,026
0,00246
0,024
0,00265
0,021
0,00284
0,02
0,00303
0,01975
0,00322
0,0195
Tabel 2: Magnetisch Veld verband met Radius
De formule hoort lineair te blijven dus kan weer deze formule omwerken en wordt het
Hierbij moet dus een grafiek komen met
als dit wordt ingevuld komt er:
769467.53
0.0025
565323.08
0.001936
432825.48
0.0016
346020.76
0.001225
279947.37
0.0009
231139.05
0.000841
194065.48
0.000676
165245.55
0.000576
142399.43
0.000441
123983.34
0.0004
108921.78
0.00039006
96446.90
0.0003802
Tabel 3: Omwerking van Tabel 2 voor het Hellingsgetal.
Als hiervan een grafiek van wordt gemaakt komt er een helling getal van
Als dit wordt ingevuld in de formule komt er
E en U staan al bekend dus als alles wordt ingevuld komt er
Als hiervan de afwijking wordt berekend komt er:
Deze is enorm laag, nog lager dan het
experiment 1.
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
9
5. Conclusie
Theoretische onderbouwing en uitvoering:
Voor dit experiment was de centrale onderzoeksvraag “Wat is de massa van het elektron wanneer deze wordt
bepaald met een Helmholtzspoel?” Om deze vraag te beantwoorden worden er twee verschillende
meetmethodes gehanteerd om hierachter te komen. Hierbij was de Lorentzkracht als middelpuntzoekendekracht
gefungeerd om de specifieke lading (e/m) te bepalen. Dit wordt gedaan door de wisselwerking tussen de
elektrische versnelde deeltjes.
De basis van dit experiment ligt bij de Lorentzkracht die als middelpuntzoekende kracht fungeert. Door
elektronen met een variabele spanning te versnellen en vervolgens loodrecht door een magnetisch veld ontstaat
er een cirkelvormige baan. Deze relatie wordt geuit in de volgende formules. Bij proef 1:
en bij
Proef 2
:
en dit vormt dan ook de basis voor de dataverwerking vanuit Excel, waarbij het
Hellingsgetal uitkomt direct gekoppeld is een de massa van een elektron.
Analyse van de resultaten:
De resultaten van deze twee proeven komen in hoge mate overeen met de geaccepteerde
wetenschappelijke literatuurwaarde.
Bij proef 1: (Variabele Spanning) werd dan ook door de versnellingsspanning te variëren bij een
constante stroom van I = 1,35A werd een massa van
berekend en deze heeft maar een
5,2% afwijking van de literatuurwaarde vanuit Binas.
Bij Proef 2 (Variabele Magnetisch Veld): in de tweede proef werd de stroom constant gehouden op U= 300V en
werd het magnetisch veld gevarieerd door de stroomsterkte aan te passen. Deze methode bleek nog
nauwkeuriger te zijn en kwam er uiteindelijk een massa van
wat resulteert in een afwijking van
slechts 2,7% ten opzichte van de literatuurwaarde. Hoewel dit een kleinere afwijking is dan bij de eerste
methode, blijft een foutenanalyse vereist.
Discussie en Foutbeschouwing:
Hoewel de afwijkingen zeer laag zijn voor een schoollaboratorium setting zijn er duidelijke
aanwijzingen voor meetonzekerheden. De belangrijkste factor van afleesnauwkeurigheid was de straal
(r) omdat de schaalverdeling stappen van 2cm had. Daarnaast hadden omgevingsfactoren ook een
potentiële rol gespeeld door bijvoorbeeld:
De magnetische interferentie van de aarde en de aanwezigheid van metalen objecten door het lokaal die
het homogene veld van de helmholtzspoel licht heeft vervormd of versterkt.
En de noodzaak van een volledig duistere omgeving was cruciaal om de zwakke lichtstralen van de
elektronenbanen te kunnen zien. Invallend omgevingslicht maakte het exact bepalen van de diameter
bovendien zeer lastig.
De afwijking zou dus hoogstwaarschijnlijk voornamelijk komen vanuit:
-De Afleespunten bij de straal, en de voltmeter.
-Onnauwkeurigheid van de spanningsmeter.
-Kleine afwijkingen in het magnetische veld.
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
10
Er kunnen ook kleine afwijkingen gebeuren vanwege de omgeving:
- Bijvoorbeeld omdat er best veel licht in de omgeving was waardoor het niet helemaal precies goed
af kon worden gelezen.
- Het magnetische veld gemaakt vanuit de helmholtzspoel zou ook kunnen worden beïnvloed door
Het magnetische veld van de aarde. Hierdoor wordt het magnetische veld sterker en zorgt dit voor
een lichtelijke afwijking in de straal.
- Het lokaal waar het experiment in plaatsvond zat ook vol met metalen objecten, tafels met stalen
poten, of elektrische apparaten zouden eventueel ook het magnetische veld van de helmholtzspoel
vervormen.
Waardoor het misschien geen perfect homogeen magnetisch veld meer zou zijn.
Foutbeschouwing
I
U
R
0,005A
1V
1cm
Tabel 4: Foutmeting per eenheid.
De voltmeter kon afgelezen worden voor elke 1V dus daar zou niet de grootste fout in zitten.
Maar juist omdat de straal maar in stappen van 2cm precies kon worden afgelezen zou hier hoogstwaarschijnlijk
de grootste foutmarge zitten. Om precies te berekenen wat de foutmarge vanuit de straal zou zijn gaat daarvan
een Max en Min grafiek erbij maken in wordt. Er staat bekend dat de delta r = 1cm = 0,01 m maar in de grafiek
is de r in het kwadraat dusdanig moet bij de top en laagste waarde
De tabel wordt dan dit.
U(V)
R^2
(m^2)
Max
R^2
(m^2)
Min
300
0,00335
0,0032
280
260
240
220
200
0,002
0,0022
Hiermee kan voor de max radius en min radius voor beide opnieuw de massa van een elektron met de Hellings
getallen deze zijn.
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
11
Berekenen
. Dusdanig wordt het
=2m dus m =
kg Voor de minimale waarde. Dan voor de
maximale waarde wordt het,
=2m dus m =
kg
m =
= 0,4
= (9,6 ± 0,42)
Dat kan echter ook worden berekend met differentiëren wat het iets specifieker is:
Als hierin de data wordt ingevuld komt er:
U (V)
r (cm)
r^2
(m^2)
Berekende
massa m (kg)
Relatieve fout
Absolute fout delta
m (kg)
300
5,7
0,003249
9,07E-31
0,0166
1,51E-32
280
5,5
0,003025
9,05E-31
0,017
1,54E-32
260
5,35
0,002862
9,23E-31
0,0174
1,60E-32
240
5,15
0,002652
9,26E-31
0,0178
1,65E-32
220
4,9
0,002401
9,15E-31
0,0184
1,68E-32
200
4,6
0,002116
8,87E-31
0,0191
1,70E-32
Als daarna de som ervan wordt genomen komt er
als dit wordt gedeeld door totale aantal
getallen (6) komt er .
dus voor bij differentiëren m =
(9,6 ± 0,2)
Er kan echter ook worden berekend wat het effect zou zijn van het magnetisch aardveld op ons magnetisch veld
en het aflezen van de straal. Er stond namelijk bekend bijvoorbeeld bij proef 1 dat het magnetische veld
constant staat aan
ymax = 0,0000135000x
ymin = 0,0000100000x
-0,001
-0,0005
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
-100 0 100 200 300 400
R^2 (m^2)
U(V)
MASSA VAN EEN ELEKTRON BEREKENEN
12
en het aardmagnetisch veld is
dit zou ongeveer een 5% effect hebben op het
magnetische veld. De straal is omgekeerd evenredig met het magnetische veld. Als het magnetische veld 5%
sterker wordt dan wordt de straal 5% kleiner wordt.
als dit wordt ingevuld met aan afwijking van
5% komt er een afwijking van 0,28cm wat een aanzienlijke afwijking is.
Dit was de conclusie uit de eerste proef waar de magnetische veld constant hielden maar voor proef gaat er
bekeken worden naar het magnetische veld zijn effect op de straal. Het werkelijke effect is echter wel sterk
afhankelijk van de oriëntatie en opstelling van de Helmholtzspoel. Omdat een magnetisch veld een
vectorgrootheid is, treedt deze maximale fout alleen op als de spoel evenwijdig op de noord-zuidlijn van de
aarde was gepositioneerd.
Wat moet er volgende keer beter:
Er waren wel een paar kleine fouten/lastigheden aan tijdens het experiment. ten eerste vond het
experiment plaats in een gedeelde practicumruimte, waardoor de lichtomstandigheden niet optimaal
konden worden beheerst. Andere mensen hadden voor hun EXO wel licht nodig. Daardoor werd het
magnetische veld af en toe niet helemaal zichtbaar in het donker. Daardoor moest het licht elke keer aan
en uit. Door het buitenlicht was de straal onder de 200V helemaal niet meer te zien. Om dit op te lossen
wordt aanbevolen om het experiment de volgende keer in een compleet verduisterde ruimte uit te voeren
om het beter te kunnen zien.
Daarnaast was er ook de fout aan dat de constante die specifiek bij de spoel hoorde niet van tevoren
werd vrij gegeven. Hoewel de Stroom en Spanning wel perfect kon worden afgelezen maar het
magnetisch veld kon niet worden en in de formule
was N,
niet
bekend.
Omdat deze waarden niet in de handleiding stonden, konden de berekeningen pas worden uitgevoerd
nadat we deze specifiek bij de docent hadden opgevraagd. Daarom wordt aanbevolen om deze van
tevoren aan de leerling te geven. Tot slot is het cruciaal dat toekomstige onderzoekers erop worden
gewezen dat de stroomsterkte de limiet van 5 A niet mag overschrijden, om onherstelbare schade aan de
apparatuur te voorkomen. Dit stond namelijk in het document dat tijdens de proef beschikbaar werd
gesteld nadat er om werd gevraagd hadden kregen. Het overschrijden van deze limiet kan leiden tot
onherstelbare schade aan de apparatuur.
REFERENTIES
UCLA Physics & Astronomy. (2025). The charge-to-mass ratio of the electron experiment.
PASCO Scientific. (2024). Electron charge-to-mass ratio apparatus manual.
UCLA Physics & Astronomy. (z.j.). Experiment 6 – The charge to mass ratio of the electron.
Virtual Labs. (z.j.). To determine the charge to mass ratio of electrons (e/m)
Binas (7e Editie). Tabel 7B: Massa en Energie, Tabel 35 Natuurkundige formules.
MELLE KOOT – 5VWO – SUPREME COLLEGE NEDERLAND -
NATUURKUNDE
